Question

在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，O是AB邊上的一個動點，⊙O是以O(shè)A半徑的圓．
（1）如圖1，當(dāng)OA=4時，判斷CD與⊙O的位置關(guān)系；
（2）如圖2，⊙O與CD邊相交于點P，過點P的切線交AD于Q點，連接OP，求DQ的長；
（3）如圖3，⊙O與CD邊相交于點P，M兩點（M點在C點右側(cè)），過P點的切線交AD于Q點，連接AM，AP，OP，OC，當(dāng)∠AMD=∠OCB時，求DQ的長．

Answer 1

分析：（1）作OH⊥DC于H，則OH=4，由于OA=4，則OH=OA，則可根據(jù)切線的判定定理得到CD與⊙O相切；
（2）作OH⊥DC于H，設(shè)OA=OC=R，則OB=8-R，在Rt△OBC中根據(jù)勾股定理可計算出R=5，則OB=3，CH=3，根據(jù)垂徑定理得到PH=CH=3，所以DP=2，在判斷AQ為⊙O的切線，根據(jù)切線長定理得到QA=QP，設(shè)DQ=x，則AQ=4-x，然后在Rt△DPQ中利用勾股定理即可計算出x；
（3）作OH⊥DC于H，由于∠AMD=∠OCB，根據(jù)相似三角形的判定得Rt△OBC∽Rt△AMD，利用相似比可計算出OB=2，則OA=DH=6，在Rt△OHP中利用勾股定理計算出PH=2

5

，則DP=6-2

5

，然后與（2）一樣計算DQ的長．

解答：解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
作OH⊥DC于H，如圖1，
∵AD=4，AB=8，OA=4，
∴四邊形OADH為正方形，
∴OH=OA=4，
∴CD與⊙O相切；

（2）作OH⊥DC于H，如圖2，
設(shè)OA=OC=R，則OB=AB-OA=8-R，
在Rt△OBC中，∵OC²=BC²+OB²，
∴R²=4²+（8-R）²，解得R=5，
∴OB=8-5=3，
∴CH=OB=3，
∵OH⊥DC，
∴PH=CH=3，
∴DP=DC-PH-CH=2，
∵QA⊥OA，
∴AQ為⊙O的切線，
∵PQ為⊙O的切線，
∴QA=QP，
設(shè)DQ=x，則AQ=4-x，
在Rt△DPQ中，∵PQ²=DQ²+DP²，
∴（4-x）²=x²+2²，解得x=

3

2

，
即DQ的長為

3

2

；

（3）作OH⊥DC于H，如圖3，
∵∠AMD=∠OCB，
∴Rt△OBC∽Rt△AMD，
∴

OB

AD

=

BC

DM

，即

OB

4

=

4

8

，解得OB=2，
∴OA=DH=6，
在Rt△OHP中，OP=6，OH=4，
∴PH=

OP2-OH2

=2

5

，
∴DP=DH-PH=6-2

5

，
與（2）一樣得到QA=QP，
設(shè)DQ=t，則AQ=4-t，
在Rt△DPQ中，∵PQ²=DQ²+DP²，
∴（4-t）²=t²+（6-2

5

）²，解得x=3

5

-5，
即DQ的長為3

5

-5．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓的切線的判定與性質(zhì)、垂徑定理、切線長定理和矩形的性質(zhì)；會運用勾股定理和三角形相似的性質(zhì)進(jìn)行幾何計算．