Question

如圖1，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，點P在BA的延長線上，且滿足∠PDA=∠ADC．

（1）判斷直線PD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）延長DO交⊙O于M（如圖2），當M恰為

BC

的中點時，試求

DE

BE

的值；
（3）若PA=2，tan∠PDA=

1

2

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用同弦所對的圓心角等于圓周角的2倍及直徑AB⊥CD，得出∠PDO=90°，即可得出直線PD與⊙O相切，
（2）要求

DE

BE

的值；可連接BD，在RT△DBE中，只要求出∠DBA的度數(shù)即可，利用角的關系求出∠CDM=30°，即可得出∠DBA=30°，所以可求出

DE

BE

的值；
（3）可由tan∠PDA=

1

2

，求出DE與AE的關系，在RT△DEO中和RT△PDE中，運用勾股定理得出關系式，再結合切割線定理即可求出⊙O的半徑為r．

解答：
解（1）直線PD與⊙O相切，
證明：如圖1，連接DO，CO，
∵∠PDA=∠ADC．
∴∠PDC=2∠ADC
∵∠AOC=2∠ADC，
∴∠PDC=∠AOC，
∵直徑AB⊥CD于點E，
∴∠AOD=∠AOC，
∴∠PDC=∠AOD，
∵∠AOD+∠ODE=90°，
∴∠PDC+∠ODE=90°，
∴直線PD與⊙O相切．

（2）如圖2，連接BD，

∵M恰為

BC

的中點，
∴∠CDM=∠BDM，
∵∠BDM=∠DBA，
∴∠CDM=∠DBA，
∵直線PD與⊙O相切，
∴∠PDA=∠DBA，
∴∠PDA=∠CDM，
又∵∠PDA=∠ADC．
∴∠PDM=3∠CDM=90°，
∴∠CDM=30°，
∴∠DBA=30°，
∴

DE

BE

=tan30°=

3

3

．

（3）如圖3，

∵tan∠PDA=

1

2

，∠PDA=∠ADC，
∴

AE

DE

=

1

2

，即DE=2AE，
在RT△DEO中，設⊙O的半徑為r，DE²+EO²=DO²
∴（2AE）²+（r-AE）²=r²
解得r=

5

2

AE，
在RT△PDE中，DE²+PE²=PD²
∴（2AE）²+（2+AE）²=PD²
∵直線PD與⊙O相切，
∴PD²=PA•PB，即PD²=2×（2+2r）
∴（2AE）²+（2+AE）²=2×（2+2r）
化簡得，5AE²+4AE=4r，
∵r=

5

2

AE，
解得，r=3．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關鍵是把切線性質(zhì)與勾股定理相結合求線段．