Question

如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M，與BD相交于點(diǎn)O，與BC相交于點(diǎn)N，連接BM、DN．

(1)求證：四邊形BMDN是菱形；

(2)若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面積和對(duì)角線MN的長(zhǎng)．

 

 

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析；（2）菱形BMDN的面積為20，MN=2．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，證△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN；

（2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出DM=BM，在Rt△AMB中，根據(jù)勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣16x+64+16，求出即可．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

∵在△DMO和△BNO中

，

∴△DMO≌△BNO（AAS），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四邊形BMDN是平行四邊形，

∵MN⊥BD，

∴平行四邊形BMDN是菱形；

（2）∵四邊形BMDN是菱形，

∴MB=MD，

設(shè)MD長(zhǎng)為x，則MB=DM=x，

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2

即x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

∴菱形BMDN的面積為：MD×AB=5×4=20，

∵AB＝4，AD＝8，

∴BD=4

∵菱形BMDN的面積還可以表示為：BD×MN=2 MN

∴2 MN=20

∴MN=2．

考點(diǎn)：1.矩形的性質(zhì)2.菱形的性質(zhì)3.菱形的判定．