Question

10．如圖1，將一張矩形紙片ABCD沿著對(duì)角線BD向上折疊，頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處，BE交AD于點(diǎn)F．
（1）求證：△BDF是等腰三角形；
（2）如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BE，交BC于點(diǎn)G，連接FG交BD于點(diǎn)O．
①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；
②若AB=6，AD=8，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等及折疊特性判斷；
（2）①根據(jù)已知矩形性質(zhì)及第一問證得鄰邊相等判斷；
②根據(jù)折疊特性設(shè)未知邊，構(gòu)造勾股定理列方程求解．

解答 （1）證明：如圖1，根據(jù)折疊，∠DBC=∠DBE，
又AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴DF=BF，
∴△BDF是等腰三角形；

（2）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四邊形BFDG是平行四邊形，
∵DF=BF，
∴四邊形BFDG是菱形；
②∵AB=6，AD=8，
∴BD=10．
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=5．
假設(shè)DF=BF=x，∴AF=AD-DF=8-x．
∴在直角△ABF中，AB²+AF²=BF²，即6²+（8-x）²=x²，
解得x=$\frac{25}{4}$，
即BF=$\frac{25}{4}$，
∴FO=$\sqrt{B{F}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{4}）^{2}-{5}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴FG=2FO=$\frac{15}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了四邊形綜合題，結(jié)合矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理解答，考查了翻折不變性，綜合性較強(qiáng)，是一道好題．