Question

（10分）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），EP與BD相交于點(diǎn)O.

（1）當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：△BOP∽△DOE；

（2）設(shè)（1）中的相似比為，若AD︰BC = 2︰3. 請?zhí)骄浚寒?dāng)k為下列三種情況時(shí)，四邊形ABPE是什么四邊形？

①當(dāng)= 1時(shí)，是           ；

②當(dāng)= 2時(shí)，是              ；

③當(dāng)= 3時(shí)，是                 .

請證明= 2時(shí)的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵AD∥BC                                

∴∠OBP = ∠ODE       ……………1分

在△BOP和△DOE中

∠OBP = ∠ODE

∠BOP = ∠DOE     …………………2分                     

∴△BOP∽△DOE  (有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似)         ……………3分

（2）① 平行四邊形 …………………4分

② 直角梯形  …………………5分

③ 等腰梯形 …………………7分

證明：∵k = 2時(shí)，

 

∴ BP = 2DE = AD

又∵AD︰BC = 2︰3        BC = AD

 

PC = BC - BP =AD - AD =AD = ED

 

ED∥PC , ∴四邊形PCDE是平行四邊形

∵∠DCB = 90°

∴四邊形PCDE是矩形             …………………8分

∴ ∠EPB = 90°                   …………………9分

又∵ 在直角梯形ABCD中

AD∥BC,  AB與DC不平行

∴ AE∥BP,  AB與EP不平行

四邊形ABPE是直角梯形      ………………………10分

（本題其它證法參照此標(biāo)準(zhǔn)給分）

【解析】略