Question

19．如圖，C為線段AB的中點，點P從點A出發(fā)以acm/s的速度沿AB向點B運動，同時，點Q從點B出發(fā)以bcm/s（b＜a）的速度沿BA向點A運動，點Q運動的時間為t s，點P與點Q在點D相遇，AB=6CD．
（1）求$\frac{a}$的值；
（2）點E為BQ的中點，當(dāng)t=4（點P，Q在運動的過程中）時，PB=44cm，CE=26cm，求AB長及a值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點P與點E相遇時，點P停止運動，在點P與點E相遇的時刻，點R從點D出發(fā)以3cm/s的速度沿DA向A運動，點P停止運動后，當(dāng)t為何值時，RQ=$\frac{1}{2}$PE？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間，可知時間相同時，速度之比等于路程之比．由點P與點Q在點D相遇，得出$\frac{a}$=$\frac{\frac{BD}{t}}{\frac{AD}{t}}$=$\frac{BD}{AD}$，然后利用中點的定義以及AB=6CD計算即可求解；
（2）由點E為BQ的中點，可得BE=$\frac{1}{2}$BQ．當(dāng)t=4時，PB=AB-AP=AB-4a=AB-8b=44①，CE=BC-BE=$\frac{1}{2}$AB-$\frac{1}{2}$×4b=$\frac{1}{2}$AB-2b=26②，將①與②聯(lián)立，解關(guān)于AB與b的二元一次方程組，即可求解；
（3）在（2）的條件下，先求出點P與點E相遇時所用時間為12s，則BP=BE=12．再求出點P與點Q在點D相遇所用時間為10s，此時BD=20cm，然后分兩種情況進行討論：①R在Q的后面；②R在Q的前面．都根據(jù)RQ=$\frac{1}{2}$PE列出關(guān)于t的方程，解方程即可求解．

解答 解：（1）∵C為線段AB的中點，AB=6CD，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=3CD．
∵點P從點A出發(fā)以acm/s的速度沿AB向點B運動，同時，點Q從點B出發(fā)以bcm/s（b＜a）的速度沿BA向點A運動，點Q運動的時間為ts，點P與點Q在點D相遇，
∴AD=at，BD=bt，
∴$\frac{a}$=$\frac{\frac{BD}{t}}{\frac{AD}{t}}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BC-CD}{AC+CD}$=$\frac{3CD-CD}{3CD+CD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；

（2）∵點E為BQ的中點，
∴BE=$\frac{1}{2}$BQ．
當(dāng)t=4時，PB=AB-AP=AB-4a=AB-8b=44①，
CE=BC-BE=$\frac{1}{2}$AB-$\frac{1}{2}$×4b=$\frac{1}{2}$AB-2b=26②，
①與②聯(lián)立，解得AB=60，b=2，
則AB=60cm，a=2b=4cm/s；

（3）當(dāng)AB=60cm，a=4cm/s，b=2cm/s，
設(shè)點P與點E相遇時所用時間為xs，
∵AP+BE=AB，
∴4x+$\frac{1}{2}$×2x=60，
解得x=12，
BP=BE=12．
點P與點Q在點D相遇所用時間為：$\frac{60}{4+2}$=10（s），此時BD=2×10=20（cm），
分兩種情況：
①R在Q的后面時，如圖1．
∵BR=BD+DR=20+3（t-12）=3t-16，
∴RQ=BQ-BR=2t-（3t-16）=16-t，
PE=BE-BP=$\frac{1}{2}$×2t-12=t-12．
∵RQ=$\frac{1}{2}$PE，
∴16-t=$\frac{1}{2}$（t-12），
解得t=$\frac{44}{3}$；
②R在Q的前面時，如圖2．
∵BR=BD+DR=20+3（t-12）=3t-16，
∴RQ=BR-BQ=3t-16-2t=t-16，
PE=BE-BP=$\frac{1}{2}$×2t-12=t-12．
∵RQ=$\frac{1}{2}$PE，
∴t-16=$\frac{1}{2}$（t-12），
解得t=20．
故當(dāng)t為$\frac{44}{3}$s或20s時，RQ=$\frac{1}{2}$PE．

點評 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點間的距離，路程、速度與時間之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．