Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（-3，0），C（1，0），BC=$\frac{3}{4}$AC．
（1）求過(guò)點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若P、Q分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP=DQ=m，若△APQ與△ADB相似，求出m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)題意求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出過(guò)點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，交x軸于點(diǎn)D，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；
（3）分PQ∥BD時(shí)和PQ⊥AD時(shí)兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，又BC=$\frac{3}{4}$AC，
∴BC=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），

設(shè)過(guò)點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{k+b=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB，交x軸于點(diǎn)D，
∵∠A=∠A，∠ABD=∠ACB，
∴△ADB∽△ABC，
∴D點(diǎn)為所求，
∵△ADB∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{CD}{3}$，
解得，CD=$\frac{9}{4}$，
∴$OD=OC+CD=\frac{13}{4}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{13}{4}$，0）；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
如圖2，當(dāng)PQ∥BD時(shí)，△APQ∽△ABD，

則$\frac{m}{5}$=$\frac{3+\frac{13}{4}-m}{3+\frac{13}{4}}$，
解得，m=$\frac{25}{9}$，
如圖3，當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，△APQ∽△ADB，
則$\frac{m}{3+\frac{13}{4}}$=$\frac{3+\frac{13}{4}-m}{5}$，
解得，m=$\frac{125}{36}$，
所以若△APQ與△ADB相似時(shí)，m=$\frac{25}{9}$或$\frac{125}{36}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．