Question

在平面直角坐標系中，點A的坐標是（1，0），點B的坐標是（-3，-3），點C是y軸上一動點，要使△ABC為等腰三角形，則符合要求的點C的位置共有（ ）
A．2個
B．3個
C．4個
D．5個

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)題意求得AB的長，直線AB的解析式，然后以點A為圓心AB的長為半徑畫弧，交y軸于C₁和C₂，以點B為圓心BA的長為半徑畫弧，交y軸于點C₃和C₄，AB的中垂線交y軸于點C₅，即可求得答案．
解答：解：∵點A的坐標是（1，0），點B的坐標是（-3，-3），
∴AB==5，
如圖，①以點A為圓心AB的長為半徑畫弧，交y軸于C₁和C₂，
∴OC₁=OC₂==2，
∴可得C₁（0，2），C₂（0，-2）；
②以點B為圓心BA的長為半徑畫弧，交y軸于點C₃和C₄，
可得C₃（0，1），C₄（0，-7）；
③AB的中垂線交y軸于點C₅，
設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y=x-，
∴OE=，AE=，DE=-=，
∴△DEC₅∽△OEA，
∴DE：OE=EC₅：AE，
∴EC₅=，
∴OC₅=，
∵C₅（0，-）．
∴符合要求的點C的為：C₁（0，2），C₂（0，-2），C₃（0，1），C₄（0，-7），C₅（0，-）．
故選D．
點評：此題考查了等腰三角形的判定，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．