Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．

(1)如圖1，P為AB邊上的一點(diǎn)，以PD、PC為邊作□PCQD，請(qǐng)問對(duì)角線PQ，DC的長(zhǎng)能否相等，為什么？

(2)如圖2，若P為AB邊上一點(diǎn)，以PD，PC為邊作□PCQD，請(qǐng)問對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

(3)若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC為邊作□PCQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

(4)如圖3，若P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到E，使AE＝nPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作□PBQE，請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出最小值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：?jiǎn)栴}1：四邊形PCQD是平行四邊形，若對(duì)角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設(shè)PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判別式△＜0，可知此方程無實(shí)數(shù)根，即對(duì)角線PQ，DC的長(zhǎng)不可能相等； 　　問題2：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G，可得G是DC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，易證得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，則可得當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4； 　　問題3：設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，PE∥CQ，PD＝DE，可得＝＝，易證得Rt△ADP∽R(shí)t△HCQ，繼而求得BH的長(zhǎng)，即可求得答案； 　　問題4：作QH∥PE，交CB的延長(zhǎng)線于H，過點(diǎn)C作CK⊥CD，交QH的延長(zhǎng)線于K，易證得＝與△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角形，繼而可求得CK的值，即可求得答案． 　　解答：解：?jiǎn)栴}1：∵四邊形PCQD是平行四邊形， 　　若對(duì)角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形， 　　∴∠DPC＝90°， 　　∵AD＝1，AB＝2，BC＝3， 　　∴DC＝2， 　　設(shè)PB＝x，則AP＝2－x， 　　在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋1＝8， 　　化簡(jiǎn)得x2－2x＋3＝0， 　　∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0， 　　∴方程無解， 　　∴對(duì)角線PQ與DC不可能相等． 　　問題2：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G， 　　則G是DC的中點(diǎn)， 　　過點(diǎn)Q作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H， 　　∵AD∥BC， 　　∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH， 　　∵PD∥CQ， 　　∴∠PDC＝∠DCQ， 　　∴∠ADP＝∠QCH， 　　又∵PD＝CQ， 　　∴Rt△ADP≌Rt△HCQ， 　　∴AD＝HC， 　　∵AD＝1，BC＝3， 　　∴BH＝4， 　　∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4． 　　問題3：如圖3，設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G， 　　∵PE∥CQ，PD＝DE， 　　∴＝＝， 　　∴G是DC上一定點(diǎn)， 　　作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H， 　　同理可證∠ADP＝∠QCH， 　　∴Rt△ADP∽R(shí)t△HCQ， 　　即＝＝， 　　∴CH＝2， 　　∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5， 　　∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為5． 　　問題4：如圖3，設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G， 　　∵PE∥BQ，AE＝nPA， 　　∴＝， 　　∴G是DC上一定點(diǎn)， 　　作QH∥PE，交CB的延長(zhǎng)線于H，過點(diǎn)C作CK⊥CD，交QH的延長(zhǎng)線于K， 　　∵AD∥BC，AB⊥BC， 　　∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG， 　　∴∠QBH＝∠PAD， 　　∴△ADP∽△BHQ， 　　∴， 　　∵AD＝1， 　　∴BH＝n＋1， 　　∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4， 　　過點(diǎn)D作DM⊥BC于M， 　　則四邊形ABND是矩形， 　　∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2 　　∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM， 　　∴∠DCM＝45°， 　　∴∠KCH＝45°， 　　∴CK＝CH·cos45°＝(n＋4)， 　　∴當(dāng)PQ⊥CD時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，最小值為(n＋4)． 　　點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程根的判別式、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．

提示：

相似三角形的判定與性質(zhì)；根的判別式；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)．