Question

13．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別在AD、AB、BC、CD上．且DE=BG，AF=CH，求證：（1）EF=GH；（2）EG和HF互相平分．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形知AD=BC、∠A=∠C，結合DE=BG知AE=CG，利用“SAS”證△EAF≌△GCH，可得EF=GH；
（2）與（1）同理可證△BFG≌△DHE得EH=FG，結合EF=GH可知四邊形EFGH是平行四邊形，據(jù)此可得答案．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
又∵DE=BG，
∴AE=CG，
在△EAF和△GCH中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=CG}\\{∠A=∠C}\\{AF=CH}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GCH（SAS），
∴EF=GH；

（2）如圖，連接EH、GF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
又∵CH=AF，
∴DH=BF，
在△BFG和△DHE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BF=DH}\\{∠B=∠D}\\{BG=DE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DHE（SAS），
∴EH=FG，
又∵EF=GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∴EG和HF互相平分．

點評 本題主要考查平行四邊形的判定與性質及全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質及平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分是解題的關鍵．