Question

13．如圖，△ABC是邊長為2$\sqrt{3}$的等邊三角形，AD⊥BC于點D，以AD的中點O為圓心作一個半徑為0.75的⊙O，問：⊙O與△ABC的各邊有何位置關系？請說明理由．

Answer 1

分析 作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，由等邊三角形的性質(zhì)得出BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，得出AD=$\sqrt{3}$BD=3，求出OA，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OE=OF=0.75，得出⊙O與AB、AC相切，由OD＞0.75，得出⊙O與BC相離．

解答 解：⊙O與AB、AC相切，⊙O與BC相離；理由如下：
作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，如圖所示：
∵△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴AD=$\sqrt{3}$BD=3，
∵O為AD的中點，
∴OA═OD=$\frac{1}{2}$AD=1.5，
∴OE=OF=$\frac{1}{2}$OA=0.75，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴⊙O與AB、AC相切；
∵OD＞0.75，
∴⊙O與BC相離．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系的判定方法、等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理；本題綜合性強，熟練掌握直線與圓的位置關系的判定方法是解決問題的關鍵．