Question

）如圖，已知拋物線經過點A（4，0），B（0，4），C（6，6）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）證明：四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；

（3）在四邊形AOBC的內部能否截出面積最大的▱DEFG？（頂點D，E，F(xiàn)，G分別在線段AO，OB，BC，CA上，且不與四邊形AOBC的頂點重合）若能，求出▱DEFG的最大面積，并求出此時點D的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

 解：（1）設該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，

根據(jù)題意得，解得，

∴拋物線的表達式為y=x²﹣x+4；

（2）如圖1，連結AB、OC，

∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），

∴OA=4，OB=4，CB==2，CA==2，

∴OA=OB，CA=CB，

∴OC垂直平分AB，

即四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；

（3）能．

如圖2，AB==4，OC==6，設D（t，0），

∵四邊形DEFG為平行四邊形，

∴EF∥DG，EF=DG，

∵OC垂直平分AB，

∴△OBC與△OAC關于OC對稱，

∴EF和DG為對應線段，

∴四邊形DEFG為矩形，DG∥OC，

∴DE∥AB，

∴△ODE∽△OAB，

∴=，即=，解得DE=t，

∵DG∥OC，

∴△ADG∽△AOC，

∴=，即=，解得DG=（4﹣t），

∴矩形DEFG的面積=DE•DG=t•（4﹣t）=﹣3t²+12t=﹣3（t﹣2）²+12，

當t=2時，平行四邊形DEFG的面積最大，最大值為12，此時D點坐標為（2，0）．