Question

11．如圖，將直角的頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，使角的一邊交邊BC于點(diǎn)E，另一邊交射線DC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作直線MN∥AD，MN交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．
（1）證明：PE=PF；（只要證明圖1這種情形）
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在射線NC上時(shí)，探究線段DN，NF，BE之間有何等量關(guān)系，并加以證明；
（3）如圖3，若將題中的正方形變?yōu)榫匦蜛BCD，且AD=mCD，其余條件不變，探究線段DN，NF，BE之間的等量關(guān)系，利用圖3和備用圖畫(huà)出圖形，并直接寫出相應(yīng)的等量關(guān)系，不必證明．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角判斷出∠EPQ=∠FPN，即可判斷出△PQE≌△PNF（ASA），即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出DN=NF，同（1）的方法判斷出△PQE≌△PNF（ASA），代換即可得出結(jié)論；
（3）分兩種情況，類似（2）的方法利用相似即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，
∴四邊形CNPQ是正方形，
∴PN=PQ=CN，∠NPF+∠FPQ=90°，
∵∠EPQ+∠FPQ=90°，
∴∠EPQ=∠FPN，
在△PQE和△PNF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PQE=∠PNF}\\{PQ=PN}\\{∠EPQ=∠FPN}\end{array}\right.$，
∴△PQE≌△PNF（ASA），
∴PE=PF，

（2）DN=BE+NF，理由：如圖2，
過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，
同（1）的方法得，四邊形CNPQ是正方形，
∴CN=CQ，
∵BC=DC，
∴DN=BQ，
同（1）的方法得，△PQE≌△PNF（ASA），
∴EQ=NF，
∴DN=BQ=BE+EQ=BE+NF；

（3）①當(dāng)點(diǎn)F在邊CD上時(shí)，如圖3，
∵M(jìn)N∥AD，
∴∠PNC=90°，
∴tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}=\frac{PN}{CN}$，
∵AD=mCD，
∴PN=mCN，
過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q，
∴四邊形CNPQ是矩形，
∴PQ=CN，
∴PN=mPQ，
同理：BQ=PM=mAM=mDN，
同（1）的方法得，∠EPQ=∠FPN，
∵∠PQE=∠PNF，
∴△PQE∽△PNF，
∴$\frac{EQ}{NF}=\frac{PQ}{PN}$，
∴NF=mEQ，
∴NF=m（BQ-BE）=mBQ-mBE=m•mDN-mBE，
∴NF+mBE=m²DN，
②當(dāng)點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖4，

同①的方法得出：NF+mBE=m²DN．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解（1）（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，是一道典型的中考常考題．