Question

9．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E，在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求證：AE=AF．
（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME，判斷△DEM的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的性質求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等即可得出結論；
（2）過點E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，得出∠DEM=90°即可；

解答 （1）證明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°-45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CAF}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\\{∠B=∠ACF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）解：△DEM是直角三角形；理由如下：
過點E作EH⊥AB于H，如圖所示：
則△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴∠DEM=90°，
∴△DEM是直角三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質；熟記性質并作輔助線構造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關鍵．