Question

15．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E，D，連接EC，CD．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若tan∠CED=$\frac{1}{2}$，⊙O的半徑為3，求OA的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OC⊥AB，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到直線AB是⊙O的切線；
（2）作DH⊥OC于H，如圖，先根據(jù)圓周角定理得到∠DCE=90°，利用tan∠CED=$\frac{CD}{CE}$=$\frac{1}{2}$和勾股定理計算出CD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，再證明∠CDH=∠E，接著在Rt△CDH中求出CH=$\frac{6}{5}$，則OH=OC-CH=$\frac{9}{5}$，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理計算出OB=5，從而得到OA=5．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴直線AB是⊙O的切線；
（2）解：作DH⊥OC于H，如圖，
∵DE為直徑，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，tan∠CED=$\frac{CD}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)CD=x，則CE=2x，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=6，解得x=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴CD=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵∠ECO+∠OCD=90°，
而OE=OC，
∴∠E=∠ECO，
∴∠E+∠OCD=90°，
∵∠HCD+∠CDH=90°，
∴∠CDH=∠E，
在Rt△CDH中，tan∠CDH=$\frac{CH}{DH}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)CH=t，則DH=2t，
∴CD=$\sqrt{5}$t，
∴$\sqrt{5}$t=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，解得t=$\frac{6}{5}$，
∴CH=$\frac{6}{5}$，
∴OH=OC-CH=$\frac{9}{5}$，
∵DH∥BC，
∴$\frac{OH}{OC}$=$\frac{OD}{OB}$，即$\frac{\frac{9}{5}}{3}$=$\frac{3}{OB}$，
∴OB=5，
∴OA=5．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了正切的定義和平行線分線段成比例定理．