Question

已知兩個共一個頂點的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME．

（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF；

（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的長；

（3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時，求證：BM=ME．

Answer 1

考點：

三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．

分析：

（1）證法一：如答圖1a所示，延長AB交CF于點D，證明BM為△ADF的中位線即可；

證法二：如答圖1b所示，延長BM交EF于D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠EBM=45°，從而得到∠EBM=∠ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明MB∥CF即可，

（2）解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線；

解法二：先求出BE的長，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=DM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；

（3）證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM=DF，ME=AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明BM=ME；

證法二：如答圖3b所示，延長BM交CF于D，連接BE、DE，利用同旁內(nèi)角互補，兩直線平行求出AB∥CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠BAM=∠DFM，根據(jù)中點定義可得AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF，BM=DM，再根據(jù)“邊角邊”證明△BCE和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．

解答：

（1）證法一：

如答圖1a，延長AB交CF于點D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，

∴點B為線段AD的中點，

又∵點M為線段AF的中點，

∴BM為△ADF的中位線，

∴BM∥CF．

證法二：

如答圖1b，延長BM交EF于D，

∵∠ABC=∠CEF=90°，

∴AB⊥CE，EF⊥CE，

∴AB∥EF，

∴∠BAM=∠DFM，

∵M(jìn)是AF的中點，

∴AM=MF，

∵在△ABM和△FDM中，

，

∴△ABM≌△FDM（ASA），

∴AB=DF，

∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，

∴BE=DE，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠EBM=45°，

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，

∴∠EBM=∠ECF，

∴MB∥CF；

（2）解法一：

如答圖2a所示，延長AB交CF于點D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，

∴點B為AD中點，又點M為AF中點，

∴BM=DF．

分別延長FE與CA交于點G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，

∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，

∴點E為FG中點，又點M為AF中點，

∴ME=AG．

∵CG=CF=a，CA=CD=a，

∴AG=DF=a，

∴BM=ME=×a=a．

解法二：

∵CB=a，CE=2a，

∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，

∵△ABM≌△FDM，

∴BM=DM，

又∵△BED是等腰直角三角形，

∴△BEM是等腰直角三角形，

∴BM=ME=BE=a；

（3）證法一：

如答圖3a，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴點B為AD中點，又點M為AF中點，∴BM=DF．

延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，

∴CE=EF=EG，CF=CG，

∴點E為FG中點，又點M為AF中點，∴ME=AG．

在△ACG與△DCF中，

，

∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．

證法二：

如答圖3b，延長BM交CF于D，連接BE、DE，

∵∠BCE=45°，

∴∠ACD=45°×2+45°=135°

∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，

∴AB∥CF，

∴∠BAM=∠DFM，

∴M是AF的中點，

∴AM=FM，

在△ABM和△FDM中，，

∴△ABM≌△FDM（ASA），

∴AB=DF，BM=DM，

∴AB=BC=DF，

∵在△BCE和△DFE中，

，

∴△BCE≌△DFE（SAS），

∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，

∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，

∴△BDE是等腰直角三角形，

又∵BM=DM，

∴BM=ME=BD，

故BM=ME．

點評：

本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．