Question

如圖，在等腰梯形AOBC中，AC∥OB，OA=BC，以O為原點，OB所在直線為x軸建立直角坐標系xoy，已知已知A（2，2），B（8，0）。
（1）直接寫出點C的坐標，并求出等腰梯形AOBC的面積；
（2）設D為OB的中點，以D為圓心，OB長為直徑作⊙D，試判斷點A與⊙D的位置關系；
（3）在第一象限內(nèi)確定點M，使△MOB與△AOB相似，求出所有符合條件的點M的坐標。

Answer 1

解：（1）C（6，）； 過A作AE⊥OB于E， 則由A、B、C的坐標可求得： AC=4，OB=8，AE= ∴；
（2）連結AD， ∵AC∥OB，即 AC∥BD， 又D是圓心， ∴DB=OB=4=AC， ∴ACBD是平行四邊形， ∴AD=CB=AO， 在直角三角形AEO中，由勾股定理可求得AO=4， ∴AD=AO=4=OB， ∴點A在⊙D上；
（3）∵點A在⊙D上，OB為直徑， ∴∠OAB=90°， 即△OAB是直角三角形， 故符合題意的點M有以下3種情況： ① 當與△BAO相似時（如圖）， 則有， ∴M1B=AO， ∵CB=AO， ∴M1B=CB， ∴點M1與點C重合， ∴此時點的坐標為（6，2）； ② 當與△OBA相似時，即過B點作的垂線交OA的延長線于M2（如圖）， 則有， 在直角三角形△OAB中，由勾股定理可求得AB=4， ∴M2B=8， ∴此時點M2的坐標為（8，8）， ③ 當與△BOA相似時，即過B點作OB的垂線交OC的延長線于M3（如圖）， 則有， ∴， ∴此時點M3的坐標為（8，）。