Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90° ，D是腰AC上的一個動點(diǎn)，過C作CE垂直于BD或BD的延長線，垂足為E，如圖．

(1)若BD是AC的中線，求的值；

(2)若BD是∠ABC的角平分線，求的值；

(3)結(jié)合(1)、(2)，試推斷的取值范圍(直接寫出結(jié)論，不必證明)，并探究的值能小于嗎？若能，求出滿足條件的D點(diǎn)的位置；若不能，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：設(shè)AB＝AC＝1，CD＝x，則0＜x＜1，BC＝，AD＝1－x． 　　在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝1＋(1－x)2＝x2－2x＋2． 　　由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD， 　　∴，即，從而， 　　∴，0＜x＜1， 　　(1)若BD是AC的中線，則CD＝AD＝x＝，得． 　　(2)若BD是∠ABC的角平分線，則，得，解得， 　　∴． 　　(3)若，則有3x2－10x＋6＝0，解得∈(0，1)， 　　∴，表明隨著點(diǎn)D從A向C移動時(shí)，BD逐漸增大，而CE逐漸減小，的值則隨著D從A向C移動而逐漸增大． 　　解法2：設(shè)AB＝AC＝1，∠ABD＝a ，則BC＝，∠CBE＝45° －a ． 　　在Rt△ABD中，有； 　　在Rt△BCE中，有CE＝BC·sin∠CBE＝sin(45° －a )． 　　因此．下略…… 　　解法3：(1)∵∠A＝∠E＝90° ，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△EDC，∴． 　　由于D是中點(diǎn)，且AB＝AC，知AB＝2AD，于是CE＝2DE． 　　在Rt△ADB中，BD＝． 　　在Rt△CDE中，由CE2＋DE2＝CD2，有CE2＋CE2＝CD2，于是． 　　而AD＝CD，所以． 　　(2)如圖少圖，延長CE、BA相交于點(diǎn)F．∵BE是∠ABC的平分線，且BE⊥CF，∴△CBE≌△FBE，得CE＝EF，于是CF＝2CE．又∠ABD＋∠ADB＝∠CDE＋∠FCA＝90° ，且∠ADB＝∠CDE， 　　∴∠ABD＝∠FCA，進(jìn)而有△ABD≌△ACF，得BD＝2CE，． 　　(3)的值的取值范圍為≥1．下略……