Question

如圖，P是等邊三角形ABC中的一個點，PA=2，PB=2，PC=4，則三角形ABC的邊長為________．

Answer 1

2
分析：由△BAP繞B點逆時針旋轉60°得△BCM，根據旋轉的性質得BM=BP，MC=PA=2，∠PBM=60°，即△BPM是等邊三角形，得到PM=PB=2，在△MCP中，PC=4，利用勾股定理的逆定理得到△PCM是直角三角形，且PC=2MC，得到∠CMP=90°，∠CPM=30°．
又△PBM是等邊三角形，∠BPM=60°，所以∠BPC=90°，△BPC是直角三角形，最后根據勾股定理即可求出邊長BC．
解答：將△BAP繞B點逆時針旋轉60°得△BCM，則BA與BC重合，如圖，
∴BM=BP，MC=PA=2，∠PBM=60°．
∴△BPM是等邊三角形，
∴PM=PB=2，
在△MCP中，PC=4，
∴PC²=PM²+MC²且PC=2MC．
∴△PCM是直角三角形，且∠CMP=90°，∠CPM=30°．
又∵△PBM是等邊三角形，∠BPM=60°．
∴∠BPC=90°，
∴BC²=PB²+PC²=（2）²+4²=28，
∴BC=2．
故答案為2．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．