Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4，OB=2，拋物線過A、B、C三點，與x軸交于另一點D．一動點P以每秒1個單位長度的速度從B點出發(fā)沿BA向點A運動，運動到點A停止，同時一動點Q從點D出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿DC向點C運動，與點P同時停止．

【小題1】求拋物線的解析式；
【小題2】若拋物線的對稱軸與AB交于點E，與x軸交于點F，當點P運動時間t為何值時，四邊形POQE是等腰梯形？
【小題3】當t為何值時，以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似？

Answer 1

【小題1】∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點B，∴c=2．
由題意，有 解得
∴所求拋物線的解析式為．
【小題2】將拋物線的解析式配方，得．
∴拋物線的對稱軸為x=2．
∴D（8，0），E（2，2），F(xiàn)（2，0）．
欲使四邊形POQE為等腰梯形，則有OP=QE．即BP=FQ．
∴t=6－3t，即t=．

【小題3】欲使以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，∴有或，
即PB=OQ或OB²=PB·QO．
①若P、Q在y軸的同側(cè)．當PB=OQ時，t=8－3t，∴t=2．
當OB²=PB·QO時，t(8－3t)=4，即3t²－8t+4=0．
解得．
②若P、Q在y軸的異側(cè)．當PB=OQ時，3t－8=t，∴t=4．
當OB²=PB·QO時，t(3t－8)=4，即3t²－8t－4=0．解得．
∵t=<0．故舍去，∴t=．
∴當t=2或t=或t=4或t=秒時，以P、B、O為頂點的三角形與以點Q、B、O為頂點的三角形相似．  

解析