Question

8．給定直角三角形ABC，點(diǎn)D是AC邊上任意一點(diǎn)．兩個(gè)圓與直線AB分別相切于點(diǎn)A和B，這兩個(gè)圓交于D和E兩點(diǎn)．求證：∠BAC=∠DEC．

Answer 1

分析 如圖，延長ED交AB于F．根據(jù)切割線定理，得到FA²=FD•FE，F(xiàn)B²=FD•FE，推出AF=FB，推出，CF=AF=FB，再證明△CFD∽△EFC，由此即可解決問題．

解答 證明：如圖，延長ED交AB于F．

∵AB是兩圓的公切線，
∴FA²=FD•FE，F(xiàn)B²=FD•FE，
∴AF²=FB²，
∴AF=FB，
∵∠ACB=90°，
∴CF=FA=FB，
∴∠1=∠3，
∴CF²=FD•FE，
∴$\frac{CF}{DF}$=$\frac{FE}{CF}$，∵∠DFC=∠CFE，
∴△CFD∽△EFC，
∴∠3=∠1，
∴∠1=∠2．
∴∠BAC=∠DEC．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、切線長定理，直角三角形斜邊中線性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形，題目比較難，用到切線定理．