Question

在平面直角坐標系XOY中，一次函數(shù)y＝x＋3的圖象是直線l₁，l₁與x軸、y軸分別相交于A、B兩點．直線l₂過點C(a，0)且與直線l₁垂直，其中a＞0．點P、Q同時從A點出發(fā)，其中點P沿射線AB運動，速度為每秒4個單位；點Q沿射線AO運動，速度為每秒5個單位．

(1)寫出A點的坐標和AB的長；

(2)當(dāng)點P、Q運動了多少秒時，以點Q為圓心，PQ為半徑的⊙Q與直線l₂、y軸都相切，求此時a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵一次函數(shù)y＝x＋3的圖象是直線l1，l1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點， 　　∴y＝0時，x＝－4， 　　∴A(－4，0)，AO＝4， 　　∵圖象與y軸交點坐標為：(0，3)，BO＝3， 　　∴AB＝5； 　　(2)由題意得：AP＝4t，AQ＝5t，＝t， 　　又∠PAQ＝∠OAB， 　　∴△APQ∽△AOB， 　　∴∠APQ＝∠AOB＝90°， 　　∵點P在l1上， 　　∴⊙Q在運動過程中保持與l1相切， 　�、佼�(dāng)⊙Q在y軸右側(cè)與y軸相切時，設(shè)l2與⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB，得： 　　∴＝， 　　∴PQ＝6； 　　連接QF，則QF＝PQ，由△QFC∽△APQ∽△AOB， 　　 　　 　　分析：(1)根據(jù)一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點求法，分別求出坐標即可； 　　(2)根據(jù)相似三角形的判定得出△APQ∽△AOB，以及當(dāng)⊙Q在y軸右側(cè)與y軸相切時，當(dāng)⊙Q在y軸的左側(cè)與y軸相切時，分別分析得出答案． 　　點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進行分析注意分類討論才能得出正確答案．