Question

12．如圖，以扇形OAB的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）．若拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+k，與扇形OAB的邊界總有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-4＜k＜1．

Answer 1

分析 根據(jù)∠AOB=45°求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求出有一個公共點(diǎn)時的k值，即為一個交點(diǎn)時的最大值，再求出拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時的k的值，即為一個交點(diǎn)時的最小值，然后寫出k的取值范圍即可．

解答 解：由圖可知，∠AOB=45°，
∴直線OA的解析式為y=x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+k}\end{array}\right.$消掉y得，
x²-4x+4k=0，
△=b²-4ac=（-4）²-4×1×4k=0，
即k=1時，拋物線與OA有一個交點(diǎn)，
此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），
∴OA=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
∴交點(diǎn)在線段AO上；
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（4，0）時，$\frac{1}{4}$×4²+k=0，
解得k=-4，
∴若拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+k，與扇形OAB的邊界總有兩個公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是-4＜k＜1．
故答案為：-4＜k＜1．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式確定交點(diǎn)個數(shù)的方法，根據(jù)圖形求出有一個交點(diǎn)時的最大值與最小值是解題的關(guān)鍵．