Question

17．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為AB的中點，若E是射線CA上任意一點，DF⊥DE，交直線BC于F點，G為EF的中點，連接CG并延長線交直線AB于點H．
（1）若E在邊AC上，則CG與GH的數(shù)量關(guān)系為相等；
（2）若E在邊CA的延長線上時，請畫出圖形，并判斷（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）若AE=6，CH=13，則邊BC=6$+\sqrt{133}$或$\sqrt{133}$-6（直接寫出結(jié)果，不要說明理由）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線求出CG=EG=GF=DG，推出∠GCD=∠GDC，推出∠GDH=∠GHD，推出DG=GH即可；
（2）根據(jù)直角三角形的特點和中線的特點可得出CG=$\frac{1}{2}$EF，GD=$\frac{1}{2}$EF，從而得出答案；
（3）求出EF的長是13，在Rt△ECF中，CF=6，根據(jù)勾股定理求出EC，從而求出AC，再根據(jù)AC=BC，即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，G為EF的中點，
∴CG=EG=FG，
∵∠EDF=90°，G為EF的中點，
∴DG=EG=FG，
∴CG=DG，
∴∠GCD=∠CDG
又∵CD⊥AB，
∴∠CDH=90°，
∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，
∴∠GHD=∠HDG，
∴GH=GD，
∴CG=GH；
故答案為：相等；

（2）根據(jù)題意畫圖如下：

E在邊CA的延長線上時（1）成立，證明如下：
Rt△EFC中，點G是EF邊的中點，則CG=$\frac{1}{2}$EF．
在Rt△EFD中，點G是EF邊的中點，則GD=$\frac{1}{2}$EF．
則CG=GD；

（3）∵AC=BC，CD是AB邊上的中線，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CHD+∠DCH=90°，∠CDG+∠HDG=90°，
∵由（1）知DG=CG，
∴∠CDG=∠GCD，
∴∠GDH=∠GHD，
∴DG=GH，
∴CG=GH=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$×13=6.5，
∵∠EDF=90°，G為EF中點，
∴DG=$\frac{1}{2}$EF，
∴EF=13，
∵AE=6，
∴由（1）知AE=CF，
∴CF=6，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EC=$\sqrt{1{3}^{2}-{6}^{2}}$=$\sqrt{133}$，
∴BC=AC=AE+CE=6+$\sqrt{133}$；
如圖②，同理求出EF=13，CF=6，
在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理求出CE=4，
則BC=AC=CE-AE=$\sqrt{133}$-6，
綜合上述：BC=6+$\sqrt{133}$或$\sqrt{133}$-6．
故答案為：6$+\sqrt{133}$或$\sqrt{133}$-6．

點評 本題考查了等腰三角形性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上的中線，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理的能力，有一定的難度．