Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并把△AOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD．
（1）求B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（t，0）時(shí)，試用含t的式子表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△OPD的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點(diǎn)B的坐標(biāo)．設(shè)直線(xiàn)AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標(biāo)代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，△ABD≌△AOP，AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形，利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數(shù)求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在x軸正半軸上時(shí)，即t＞0時(shí)；
②當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，但D在x軸上方時(shí)；即-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t≤0時(shí)
③當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，D在x軸下方時(shí)，即t≤-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$時(shí)．
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值．

解答 解：（1）如圖1，

過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F．
由已知得：BF=OE=2，
∴OF=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2$\sqrt{3}$，2）．
設(shè)直線(xiàn)AB的解析式是y=kx+b（k≠0），
則有$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}k+b=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴直線(xiàn)AB的解析式是y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4，
（2）∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，
∴△ABD≌△AOP．
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO．
∴∠DAP=∠BAO=60°．
∴△ADP是等邊三角形．
如圖2，

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，延長(zhǎng)EB交DH于點(diǎn)G，則BG⊥DH．
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°，
∴BG=BD•cos60°=t×$\frac{1}{2}$=$\frac{t}{2}$．DG=BD•sin60°=$\frac{3}{2}$t．
∴OH=EG=2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$t，DH=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$t，2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）．
（3）存在．
假設(shè)存在點(diǎn)P，在它的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使△OPD的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
設(shè)點(diǎn)P為（t，0），下面分三種情況討論：
①當(dāng)t＞0時(shí)，如答圖2，BD=OP=t，DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴DH=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．
∵△OPD的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$t（2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴t₁=$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，t₂=$\frac{-\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$（舍去）．
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，0）．
②∵當(dāng)D在x軸上時(shí)，如圖3，

根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=OP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴當(dāng)-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜t≤0時(shí)，如答圖1，BD=OP=-t，DG=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴GH=BF=2-（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．
∵△OPD的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴-$\frac{1}{2}$t（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴t₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，t₂=-$\sqrt{3}$
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，0）．
③當(dāng)t≤-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$時(shí)，BD=OP=-t，DG=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴DH=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-2．
∵△OPD的面積等于$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$（-t）（-2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴t₁=$\frac{-\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，t₂=$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$（舍去）．
∴點(diǎn)P₄的坐標(biāo)為（$\frac{-\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，0）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P₁（$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，0），P₂（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），P₃（-$\sqrt{3}$，0），P₄（$\frac{-\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)的意義，分類(lèi)思想，解本題的關(guān)鍵是銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．