Question

已知，三個(gè)直徑分別為2，4，5的圖如圖排列，每?jī)蓚�(gè)圓之間外切，O₁P切⊙O₃于點(diǎn)P，則圖中陰影部分面積為

4

3

π-

3

．

Answer 1

分析：連接O₁O₃，O₃P，設(shè)直線O₁P交⊙O₂于A、B，連接O₂A，O₂B，過(guò)O₂作O₂C⊥AB于C，推出△O₁CO₂∽△O₁PO₃，得出

O2C

O3P

=

O1O2

O1O3

，代入求出O₂C=1，由勾股定理求出BC=

3

，由垂徑定理求出AB=2BC=2

3

，求出∠CBO₂=30°，求出∠AO₂B=120°，根據(jù)S=S 扇形AO2B-S △AO2B求出即可．

解答：解：連接O₁O₃，O₃P，設(shè)直線O₁P交⊙O₂于A、B，連接O₂A，O₂B，過(guò)O₂作O₂C⊥AB于C，
∵O₁P切⊙O₃于P，
∴O₃P⊥O₁P，
∴O₂C∥O₃P，
∴△O₁CO₂∽△O₁PO₃，
∴

O2C

O3P

=

O1O2

O1O3

，
∴

O2C

5 2

=

1+2

1+4+ 5 2

，
∴O₂C=1，
由勾股定理得：BC=

22-12

=

3

，
∵O₂C⊥AB，O₂C過(guò)圓心O₂，
∴AB=2BC=2

3

，
∵O₂B=2=2O₂C，∠O₂CB=90°，
∴∠CBO₂=30°，
∴∠CO₂B=60°，
∵AO₂=BO₂，O₂C⊥AB，
∴∠AO₂C=∠BO₂C=60°，
∴∠AO₂B=60°+60°=120°，
∴陰影部分的面積S=S 扇形AO2B-S △AO2B=

120π×22

360

-

1

2

×2

3

×1=

4

3

π-

3

，
故答案為：

4

3

π-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，兩圓相切的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，求扇形的面積，含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算的能力．