Question

已知，四邊形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的兩邊AM、AN分別交CB、DC與點(diǎn)M、N，連接MN，作AH⊥MN，垂足為點(diǎn)H
（1）如圖1，猜想AH與AB有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；
（2）如圖2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD=2，CD=3，求AD的長(zhǎng)；
小萍同學(xué)通過(guò)觀察圖①發(fā)現(xiàn)，△ABM和△AHM關(guān)于AM對(duì)稱，△AHN和△ADN關(guān)于AN對(duì)稱，于是她巧妙運(yùn)用這個(gè)發(fā)現(xiàn)，將圖形如圖③進(jìn)行翻折變換，解答了此題．你能根據(jù)小萍同學(xué)的思路解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

Answer 1

（1）答：AB=AH，
證明：延長(zhǎng)CB至E使BE=DN，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABE=180°-∠ABC=90°
又∵AB=AD，
∵在△ABE和△ADN中，
，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴∠1=∠2，AE=AN，
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠1+∠3=90°-∠MAN=45°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EAM=45°，
∵在△EAM和△NAM中，
，
∴△EAM≌△NAM（SAS），
又∵EM和NM是對(duì)應(yīng)邊，
∴AB=AH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等）；

（2）作△ABD關(guān)于直線AB的對(duì)稱△ABE，作△ACD關(guān)于直線AC的對(duì)稱△ACF，

∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴∠E=∠F=90°，
又∵∠BAC=45°
∴∠EAF=90°
延長(zhǎng)EB、FC交于點(diǎn)G，則四邊形AEGF是矩形，
又∵AE=AD=AF
∴四邊形AEGF是正方形，
由（1）、（2）知：EB=DB=2，F(xiàn)C=DC=3，
設(shè)AD=x，則EG=AE=AD=FG=x，
∴BG=x-2；CG=x-3；BC=2+3=5，
在Rt△BGC中，（x-2）²+（x-3）²=5²
解得x₁=6，x₂=-1，
故AD的長(zhǎng)為6．
分析：（1）延長(zhǎng)CB至E使BE=DN，連接AE，由三角形全等可以證明AH=AB；
（2）作△ABD關(guān)于直線AB的對(duì)稱△ABE，作△ACD關(guān)于直線AC的對(duì)稱△ACF，延長(zhǎng)EB、FC交于點(diǎn)G，則四邊形AEGF是矩形，又AE=AD=AF，所以四邊形AEGF是正方形，設(shè)AD=x，則EG=AE=AD=FG=x，所以BG=x-2；CG=x-3；BC=2+3=5，在Rt△BGC中，（x-2）²+（x-3）²=5²解之 得x₁=6，x₂=-1，所以AD的長(zhǎng)為6．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的判斷，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等．