Question

在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，動點(diǎn)M、N分別在兩腰AB、AC上（M不與A、B重合，N不與A、C重合），且MN∥BC，將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為P。
（1）當(dāng)MN為何值時，點(diǎn)P恰好落在BC上？
（2）當(dāng)MN=x，△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為y，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

解：（1）連接AP，交MN于O， ∵將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為P， ∴OA=OP，AP⊥MN，AN=PN，AM=PM， ∵M(jìn)N∥BC， ∴△AMN∽△ABC，AO⊥MN， ∴， ∵BC=6， ∴MN=3， ∴當(dāng)MN=3時，點(diǎn)P恰好落在BC上；

（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，交MN于O， ∵M(jìn)N∥BC， ∴AO⊥MN， ∴△AMN∽△ABC， ∴， ∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，BD=BC=3， ∴AD=4， ∴， ∴AO=x， ∴S△AMN=， 當(dāng)AO≤AD時， 根據(jù)題意得：S△PMN=S△AMN， ∴△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為S△AMN， ∴， ∴當(dāng)AO=AD時，即MN=BC=3時，y最小，最小值為3； 當(dāng)AO＞AD時， 連接AP交MN于O，則AO⊥MN， ∵M(jìn)N∥BC， ∴AP⊥BC，△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN， ∴， 即：， ∴AO=x， ∴， ∴EF=2x-6，OD=AD-AO=4-x， ∴y=S梯形MNFE=（EF+MN）·OD=×（2x-6+x）×（4x）=-（x-4）2+4， ∴當(dāng)x=4時，y有最大值，最大值為4， 綜上所述：當(dāng)x=4時，y的值最大，最大值是4。