Question

18．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+（k+1）x-k-3=0
（1）求證：該方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若該方程的一根為2，求另一根的值．

Answer 1

分析 （1）要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，即證明△＞0即可．△=（k+1）²-4（-k-3）=k²+6k+13=（k+3）²+4，因為（k+3）²≥0，可以得到△＞0；
（2）將x=2代入方程x²+（k+1）x-k-3=0，求出k的值，進而得出方程的解．

解答 （1）證明：∵△=（k+1）²-4（-k-3）=k²+6k+13=（k+3）²+4，
而（k+3）²≥0，
∴△＞0．
∴對任意實數(shù)k，方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：∵方程的一個根是2，
∴2²+2（k+1）-k-3=0，
解得：k=-3，
∴原方程為：x²-2x=0，
解得：x₁=2，x₂=0．
方程的另一個根是0．

點評 此題考查了根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．同時考查了一元二次方程的解的定義．