Question

如圖，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點G．求證：GE=GD．

Answer 1

證明：連接AG，過點G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．

∵∠A=60°，
∴∠ACB+∠ABC=120°，
∵CD，BE是角平分線，
∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，
∴∠CGB=∠EGD=120°，
∵G是∠ACB平分線上一點，
∴GN=GF，
同理，GF=GM，
∴GN=GM，
∴AG是∠CAB的平分線，
∴∠GAM=∠GAN=30°，
∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，
∴∠EGD=∠NGM=120°，
∴∠EGN=∠DGM，
又∵GN=GM，
∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），
∴GE=GD．
分析：連接AG，過點G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分線的性質(zhì)及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分線；在四邊形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，證明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得證GE=GM．
點評：此題綜合考查角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和和全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點，難度較大，作輔助線很關(guān)鍵．