Question

11．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點(diǎn)為P，其圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（-m，0），B（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，-3am+6a），以下說法：
①m=3；
②當(dāng)∠APB=120°時(shí)，a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
③當(dāng)∠APB=120°時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M（M與P不重合），使得△ABM是頂角為120°的等腰三角形；
④拋物線上存在點(diǎn)N，當(dāng)△ABN為直角三角形時(shí)，有a≥$\frac{1}{2}$
正確的是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式得到①式和②式，將兩式相減即可得到m=$\frac{a+b}{a}$，即可得到C（0，3a-3b），從而得到c=3a-3b，代入②式，就可解決問題；
②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，則有PG⊥x軸，只需求出點(diǎn)P的坐標(biāo)就可解決問題；
③在第一象限內(nèi)作∠MBA=120°，且滿足BM=BA，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，如圖1，只需求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證點(diǎn)M是否在拋物線上，就可解決問題；
④易知點(diǎn)N在拋物線上且△ABN為直角三角形時(shí)，只能∠ANB=90°，此時(shí)點(diǎn)N在以AB為直徑的⊙G上，因而點(diǎn)N在⊙G與拋物線的交點(diǎn)處，要使點(diǎn)N存在，點(diǎn)P必須在⊙G上或⊙G外，如圖2，只需根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系就可解決問題．

解答 解：①∵點(diǎn)A（-m，0）、B（1，0）在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a{m}^{2}-bm+c=0①}\\{a+b+c=0②}\end{array}\right.$，
由①-②得
am²-bm-a-b=0，
即（m+1）（am-a-b）=0．
∵A（-m，0）與B（1，0）不重合，
∴-m≠1即m+1≠0，
∴m=$\frac{a+b}{a}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3a-3b），
∵點(diǎn)C在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴c=3a-3b，
代入②得a+b+3a-3b=0，即b=2a，
∴m=$\frac{a+b}{a}$=3，故①正確；
②∵m=3，∵A（-3，0），
∴拋物線的解析式可設(shè)為y=a（x+3）（x-1），
則y=a（x²+2x-3）=a（x+1）²-4a，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-4a）．
根據(jù)對(duì)稱性可得PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=30°．
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，
則有PG⊥x軸，
∴PG=AG•tan∠PAG=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴4a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，故②正確；
③在第一象限內(nèi)作∠MBA=120°，且滿足BM=BA，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，如圖1，
在Rt△MHB中，∠MBH=60°，
則有MH=4sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，BH=4cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2$\sqrt{3}$），
當(dāng)x=3時(shí)，y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（3+3）（3-1）=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)M在拋物線上，故③正確；
④∵點(diǎn)N在拋物線上，∴∠ABN≠90°，∠BAN≠90°．
當(dāng)△ABN為直角三角形時(shí)，∠ANB=90°，
此時(shí)點(diǎn)N在以AB為直徑的⊙G上，
因而點(diǎn)N在⊙G與拋物線的交點(diǎn)處，
要使點(diǎn)N存在，點(diǎn)P必須在⊙G上或⊙G外，如圖2，
則有PG≥2，即4a≥2，也即a≥$\frac{1}{2}$，故④正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、因式分解、三角函數(shù)、圓周角定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，運(yùn)用因式分解法求m是解決①的關(guān)鍵，將∠ANB=90°轉(zhuǎn)化為點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上是解決④的關(guān)鍵．