Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為一邊，在△ABC的外部作△BCE，使△BCE是等腰直角三角形，求線段AE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：①以C為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形EBC，

∵∠ECB=90°，且CE=BC，
∴AE=AC+CE=2+2=4；
②以B為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形BCE，

連接AE，過(guò)點(diǎn)E作DE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于D．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BCE=90°，
∴∠DBE=45°，
又∵DE⊥BE，
∴∠EDB=90°，
∴BD=DE=2×=，
在Rt△BAC中，AB==2，
∴AE===2；
③以BC為斜邊，向外作等腰直角三角形BCE，

∵∠BEC=90，BE=CE，且BC=2，
∴BE=CE=BCsin45°=2×=，
又∵△ABC、△BEC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠CBE=45°，
∴∠ABE=90°，
又∵在Rt△ABC中，AB==2，
∴AE==．
故AE的長(zhǎng)等于4或2或．
分析：分情況討論，①以C為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形EBC；②以B為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形BCE；③以BC為斜邊，向外作等腰直角三角形BCE．分別畫圖，并求出AE．
點(diǎn)評(píng)：考查了勾股定理和等腰直角三角形．分情況考慮問(wèn)題，主要利用了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．