Question

6．如圖1，拋物線y₁=-x²+a與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，點C（2，-3）在拋物線y₂的圖象上．
（1）求拋物線y₁的函數(shù)表達式及點B的坐標；
（2）如圖2，將拋物線y₁沿x軸向右平移后得拋物線y₂，且拋物線y₂的圖象過點C，拋物線y₂與x軸交于F、G兩點，頂點為E．
①請直接寫出拋物線y₂的函數(shù)表達式及點E的坐標；
②在A、B、C、D、E、F、G中，連接任意三點，能構(gòu)成等腰直角三角形的共有5個，分別是△ABD、△EFG、△ACE、△BCF、△DCG．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y₁=-x²+a與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，點C（2，-3）在拋物線y₁的圖象上，可以求得拋物線y₁的函數(shù)表達式及點B的坐標；
（2）①根據(jù)拋物線y₁沿x軸向右平移后得拋物線y₂，且拋物線y₂的圖象過點C，頂點為E，可以得到拋物線y₂的函數(shù)表達式及點E的坐標；
②先求出點A、B、C、D、E、F、G各點的坐標，然后即可得到能夠成等腰直角三角形的個數(shù)，通過計算可以說明哪幾個三角形是等腰直角三角形．

解答 解：（1）把點C（2，-3）代入y₁=-x²+a，得
-3=-2²+a，
解得，a=1，
即y₁=-x²+1，
當x=0時，y₁=1，
即點B的坐標為（0，1）；
（2）①拋物線y₂的函數(shù)表達式為：${y}_{2}=-（x-4）^{2}+1$，點E的坐標為（4，1）；
理由：設${y}_{2}=-（x+b）^{2}+1$，
∵點C（2，-3）在拋物線y₂的圖象上，
∴-3=-（2+b）²+1，
解得，b=-4，
即${y}_{2}=-（x-4）^{2}+1$，
∴點E的坐標為（4，1）；
（3）當y₁=0代入y₁=-x²+1，得x=-1或x=1，將x=0代入y₁=-x²+1，得y₁=1，
∴點D為（-1，0），點A為（1，0），點B為（0，1），
將y₂=0代入${y}_{2}=-（x-4）^{2}+1$，得x=3或x=5，將x=4代入${y}_{2}=-（x-4）^{2}+1$，得y₂=1，
∴點F（3，0），G為（5，0），E為（4，1），
∴BD=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$，AD=2，
∵$（\sqrt{2}）^{2}+（{\sqrt{2}）}^{2}=4={2}^{2}$，
∴△ABD是等腰直角三角形；
∴EF=$\sqrt{2}$，EG=$\sqrt{2}$，F(xiàn)G=2，
，∵$（\sqrt{2}）^{2}+（{\sqrt{2}）}^{2}=4={2}^{2}$，
∴△EFG是等腰直角三角形；
∵A為（1，0），C為（2，-3），E為（4，1），
∴AC=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-3-0）^{2}}=\sqrt{10}$，AE=$\sqrt{（4-1）^{2}+（1-0）^{2}}=\sqrt{10}$，CE=$\sqrt{（2-4）^{2}+（-3-1）^{2}}=\sqrt{20}$，
∵$（\sqrt{10}）^{2}+（\sqrt{10}）^{2}=（{\sqrt{20}）}^{2}$，
∴△ACE是等腰直角三角形；
∵點B為（0，1），C為（2，-3），點F（3，0），
∴BC=$\sqrt{（2-0）^{2}+（{-3-1）}^{2}}=\sqrt{20}$，BF=$\sqrt{（3-0）^{2}+（{0-1）}^{2}}=\sqrt{10}$，CF=$\sqrt{（2-3）^{2}+（-3-0）^{2}}=\sqrt{10}$，
∵$（\sqrt{10}）^{2}+（\sqrt{10}）^{2}=（{\sqrt{20}）}^{2}$，
∴△BCF是等腰直角三角形；
∵點D為（-1，0），C為（2，-3），G為（5，0），
∴DC=$\sqrt{[2-（-1）]^{2}+[（-3）-0]^{2}}=\sqrt{18}$，DG=$\sqrt{（-1-5）^{2}+（0-0）^{2}}=\sqrt{36}$，CG=$\sqrt{（2-5）^{2}+（-3-0）^{2}}=\sqrt{18}$，
∵$（\sqrt{18}）^{2}+（\sqrt{18}）^{2}=（\sqrt{36}）^{2}$，
∴△CDG是等腰直角三角形；
故答案為：5，△ABD、△EFG、△BFC、△ACE、△CDG．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、兩點間的距離、等腰直角三角形的判定、勾股定理的逆定理，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．