Question

15．如圖，∠ABM為直角，點C為線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點（不與點B重合），連接AD，作BE⊥AD，垂足為E，連接CE，過點E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求證：BF=FD；
（2）點D在運動過程中能否使得四邊形ACFE為平行四邊形？如不能，請說明理由；如能，求出此時∠A的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜邊上的中線性質得出CE=CB，由等腰三角形的性質和直角三角形的性質證出EF=BF，EF=FD，即可得出結論．
（2）假設點D在運動過程中能使四邊形ACFE為平行四邊形，則AC∥EF，AC=EF，由（1）知AC=CB=$\frac{1}{2}$AB，EF=BF=$\frac{1}{2}$BD，則BC=EF=BF，即BA=BD，∠A=45°．

解答 （1）證明：∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，∵點C為線段BA的中點，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=CB，
∴∠CEB=∠CBE．
∵∠CEF=∠CBF=90°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF．
∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠FED=∠EDF，
∵EF=FD．
∴BF=FD．
（2）能．理由如下：
若四邊形ACFE為平行四邊形，則AC∥EF，AC=EF，
∴BC=BF，
∴BA=BD，∠A=45°．
∴當∠A=45°時四邊形ACFE為平行四邊形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質、等腰三角形的性質是解決問題的關鍵．