Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC=4，S_△ABC=6，∠B為銳角，且關(guān)于x的方程x²-4xcosB+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．D是劣弧上任一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）求CE的長(zhǎng)；
（3）求證：DA、DC的長(zhǎng)是方程y²-DE•y+DE•DF=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

Answer 1

（1）解：由題意知：
△=（4cosB）²-4=0，即cosB=；
∴∠B=60°；

（2）解：過(guò)A作AG⊥BC于G；
∵S_△ABC=BC•AG=6，
∴AG=12÷4=3；
Rt△ABG中，∠B=60°，AG=3，則BG=3；
Rt△AGC中，CG=BC-BG=1，AG=3，由勾股定理，得：
AC==2；
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ADC=180°-∠B=120°；
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠EDA=∠B=60°；
∴EC=AC=2；

（3）證明：在DE上截取DM=DA，連接AM；
由（2）知：∠EDA=60°，則△ADM是等邊三角形，得：DA=DM=AM；
∵∠EDA=∠B=60°，
∴AE=AC；
∵∠EAC=∠EDC=∠MAD=60°，
∴∠EAM=∠DAC=60°-∠MAF；
又∵DA=AM，
∴△AME≌△ADC，得：EM=DC；
∴DE=EM+DM=DA+DC；…①
∵∠FAD=∠DEC，∠ADF=∠EDC，
∴△ADF∽△EDC；
∴DA•DC=DE•DF；…②
聯(lián)立①②可知：DA、DC的長(zhǎng)是方程y²-DE•y+DE•DF=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
分析：（1）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可根據(jù)根的判別式來(lái)得到cosB的值，進(jìn)而判斷出∠B的度數(shù)；
（2）在（1）題中不難得出∠B=60°，而四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，可得到∠ADE=∠CDE=∠B=60°，欲求CE，可先求出AC的長(zhǎng)．過(guò)A作AG⊥BC于G，根據(jù)△ABC的面積和BC的長(zhǎng)，可求得AG的值，進(jìn)而通過(guò)解直角三角形可求出BG、CG的長(zhǎng)，在Rt△AGC中，由勾股定理即可求得AC（即CE）的值；
（3）若DA、DC是所求方程的兩個(gè)根，需滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①DA+DC=DE，②DA•DC=DE•DF；
①可在DE上截取DM=DA，連接AE，通過(guò)證△AME≌△ADC，來(lái)得到EM=DC，從而得到DA+DC=DE；
②通過(guò)證△ADF∽△EDC來(lái)求得DA•DC=DE•DF．
得到上述兩個(gè)條件后，即可根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)證得所求的結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、三角形面積的求法、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形、相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，難度較大．