Question

如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 ，AC，BD相交于點(diǎn)O．
（1）求邊AB的長；
（2）如圖2，將一個(gè)足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF與
AC相交于點(diǎn)G．
①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；
②旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)E為邊BC的四等分點(diǎn)時(shí)（BE＞CE），求CG的長．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴△AOB為直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD=  ．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=．
（2）①△AEF是等邊三角形．
理由如下：
∵由（1）知，菱形邊長為2，AC=2，
∴△ABC與△ACD均為等邊三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE與△ACF中，
∵∠BAE=∠CAF ，AB=AC=2 ，∠EBA=∠FCA=60°，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形．
②BC=2，E為四等分點(diǎn)，且BE＞CE，
∴CE=，BE=．
由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=．
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形內(nèi)角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等邊三角形內(nèi)角），∠EGA=∠CGF（對頂角）
∴∠EAC=∠GFC．
在△CAE與△CFG中，
∵ ∠EAC=∠GFC ，∠ACE=∠FCG=60°，
∴△CAE∽△CFG ，∴，即，
解得：CG=．