Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為反比例函數(shù)的圖象上兩點，A點的橫坐標(biāo)與B點的縱坐標(biāo)均為1，將的圖象繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，A點的對應(yīng)點為，B點的對應(yīng)點為．

（1）求旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式；

（2）求、點的坐標(biāo)；

（3）連結(jié)．動點從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，當(dāng)其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設(shè)運動的時間為秒，試探究：是否存在使為等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式為． 

（2）由旋轉(zhuǎn)可得（4，-1）、（1，-4）． 

（3）依題意，可知．若為直角三角形，則同時也是等腰三角形，因此，只需求使為直角三角形的值．

分兩種情況討論：

①  當(dāng)是直角，時，如圖1，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=MN=t，

∴B′M=8-t，

∵，

∴．

解得  （舍去負(fù)值），

∴． 

②當(dāng)是直角，時，

如圖2，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=t，

∴B′M=MN=8-t，

∵，

∴，

解得  ．

∵，，

∴此時t值不存在． 

（此類情況不計算，通過畫圖說明t值不存在也可以）

綜上所述，當(dāng)時，為等腰直角三角形．

【解析】（1）首先把x=1代入反比例函數(shù)y=（x＞0）的解析式，求出對應(yīng)的y值，得到A點坐標(biāo)，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠AOA′=90°，OA=OA′，如果分別過A、A′作AM⊥y軸于M，A′N⊥x軸于N，連接OA，OA′，易證△OAM≌△OA′N，得到A′的坐標(biāo)，從而求出旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式；

（2）上問已經(jīng)求出A′的坐標(biāo)，同樣求出點B′的坐標(biāo)；

（3）首先運用待定系數(shù)法求出直線A′B′的解析式，由斜率k的值可知∠A′B′A=45°．然后假設(shè)存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值，那么分兩種情況討論：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．針對每一種情況，都可以利用等腰直角三角形中斜邊是直角邊的倍列出方程，從而求出結(jié)果．