Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，把△CBE沿CE折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)D處，點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為（5，0）和（3，0）。
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求DE所在直線的解析式；
（3）設(shè)過點(diǎn)C的拋物線（b<0）與直線BC的另一個(gè)交點(diǎn)為M，問在該拋物線上是否存在點(diǎn)G，使得△CMG為等邊三角形，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，得CD=CB=OA=5，OD=3， ∵∠COD=90°， ∴OC= ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4）； （2）∵AB=OC=4，設(shè)AE=x，則DE=BE=4-x，AD=OA-OD=5-3=2， 在Rt△DEA中，DE2=AD2+AE2 ∴（4-x）2=22+x2 解之，得x=，即點(diǎn)E的坐標(biāo)是（5，）， 設(shè)DE所在直線的解析式為y=kx+b， ∴解之，得 ∴DE所在直線的解析式為； （3）∵點(diǎn)C（0，4）在拋物線上， ∴c=4， 即拋物線為 假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)G，使得△CMG為等邊三角形， 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性及等邊三角形的性質(zhì)，得點(diǎn)G一定在該拋物線的頂點(diǎn)上，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，n）， ∴，n=， 即點(diǎn)G的坐標(biāo)為 設(shè)對(duì)稱軸x=-與直線CB交于點(diǎn)F，與x軸交于點(diǎn)H， 則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-，4）， ∵b＜0， ∴m＞0， 點(diǎn)G在y軸的右側(cè)，DF=m=-，F(xiàn)H=4，F(xiàn)G=4- ∵CM=CG=2CF=-， ∴在Rt△CGF中，CG2=CF2+FG2， 解之，得b=-2，（∵b＜0） ∴m=-，n=， ∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為， ∴在拋物線上存在點(diǎn)G，使得△CMG為等邊三角形。