Question

已知拋物線y=mx²-（m-5）x-5（m＞0），與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），（x₁＜x₂），與y軸交于點(diǎn)C且AB=6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若⊙M過A、B、C三點(diǎn)，求⊙M的半徑，并求M到直線BC的距離；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，使△PBQ被直線BC分成面積相等的兩部分，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）y=mx²-（m-5）x-5（m＞0）
=（x-1）（mx+5）=m（x-1）（x+

5

m

）；
∴x₁=-

5

m

，x₂=1；
∴|AB|=1+

5

m

=6，m=1；
∴y=x²+4x-5；A（-5，0），B（1，0），C（0，-5）；

（2）圓心M的坐標(biāo)為（-2，x），且MB=MC；
（-2-1）²+x²=4+（x+5）²，x=-2；
設(shè)⊙O的半徑為r，
∴r²=x²+9=4+9=13；
∴r=

13

，BC=

26

；
∴d=

r2-( 1 2 BC)2

=

13- 26 4

=

26

2

；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P（x_P，y_P），
∵P在拋物線上，
∴y_P=x_P²+4x_P-5，Q（x_P，0）；
∵直線BC的方程為y=5x-5，而直線PQ的方程為x=x_P，
∴設(shè)BC與PQ的交點(diǎn)為H，H（x_P，5x_P-5）；
∴

HQ

PQ

=

1

2

，
∴

5xP-5

xP2+4xP-5

=

1

2

；
∴x_P=1（舍去）或x_P=5；
∴存在點(diǎn)P（5，40）．