Question

14．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在AC邊上，∠EDF=45°．
（1）求證：△DEF∽△ADF；
（2）若AC=4，EF⊥AB，求△DEF的面積．

Answer 1

分析 （1）連接CD，先證明△ADF∽△BED，推出$\frac{DF}{DE}$=$\frac{AF}{DB}$，得到$\frac{DF}{AF}$=$\frac{DE}{AD}$，由∠A=∠EDF即可證明．
（2）延長(zhǎng)EF交AB于M，AC與DE交于點(diǎn)G，將△CDG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADN，連接FN．先證明△DFG≌△DFN，設(shè)AF=CG=x，則FG=FN=4-2x，求出EF、DM即可解決問題．

解答 （1）證明：連接CD．

∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB
∴AD=CD=BD，CD⊥AB
∴∠A=∠B=∠ACD=45°，∠ADC=90°，
∵∠ADE=∠B+∠DEB=∠ADF+∠EDF，∠EDF=45°，
∴∠ADF=∠DEB，∵∠A=∠B，
∴△ADF∽△BED，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{AF}{DB}$，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{DE}{AD}$，
∵∠A=∠EDF，
∴△DEF∽△ADF．

（2）如下圖，延長(zhǎng)EF交AB于M，AC與DE交于點(diǎn)G，將△CDG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADN，連接FN．

∵EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC=∠ADF，
∵AD=CD，∠A=∠DCG，
∴△ADF≌△CDG，
∴AF=CG，
∵DG=DN，DF=DF，∠FDG=∠NDF=45°，
∴△DFG≌△DFN，
∴FG=FN，設(shè)AF=CG=x，則FG=FN=4-2x，
在Rt△AFN中，x²+x²=（4-2x）²，
解得x=4-2$\sqrt{2}$或4+2$\sqrt{2}$（舍棄），
∴AM=MF=2$\sqrt{2}$-2，DM=2，
∵CD∥EM，
∴$\frac{CD}{EM}$=$\frac{BD}{BM}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{EM}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}$，
∴EM=2+2$\sqrt{2}$，EF=4，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$×EF×DM=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形，屬于中考常考題型．