Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“非常距離”，給出如下定義：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|y₁-y₂|．
例如：點(diǎn)P₁（1，2），點(diǎn)P₂（3，5），因?yàn)閨1-3|＜|2-5|，所以點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|2-5|=3，也就是圖1中線段P₁Q與線段P₂Q長度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P₁Q與垂直于x軸的直線P₂Q交點(diǎn)）．

（1）已知點(diǎn)A（0，1），B為y軸上的一個動點(diǎn)，
①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為3，寫出一個滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；
（2）已知M是直線y=-$\frac{1}{2}$x-2上的一個動點(diǎn)，
①如圖2，點(diǎn)N的坐標(biāo)是（-2，0），求點(diǎn)M與點(diǎn)N的“非常距離”d的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②若P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，且OP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)P的“非常距離”d的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)P和點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上，可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．由“非常距離”的定義可以確定|1-y|=3，據(jù)此可以求得y的值；
②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y），根據(jù)|0-0|≥|1-y|，得出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值為|0-0|=0，即可得出答案；
（2）①先確定出M點(diǎn)的位置，由M在直線y=-$\frac{1}{2}$x-2上，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，由條件可求得M點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)M與點(diǎn)N的“非常距離”d的最小值；
②當(dāng)點(diǎn)P在過原點(diǎn)且與直線y=-$\frac{1}{2}$x-2垂直的直線上時，點(diǎn)M與點(diǎn)P的“非常距離”最小，求出P（-$\frac{1}{2}$，-1），進(jìn)而求解即可．

解答 解：（1）①∵B為y軸上的一個動點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．
∵|0-0|=0≠3，
∴|1-y|=3，
解得，y=4或y=-2；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4）或（0，-2）；
②點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為0；

（2）①過N點(diǎn)作x軸的垂線，過M點(diǎn)作y軸的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)P，
連結(jié)MN，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的右下方且使△PMN為等腰直角三角形時，點(diǎn)M與點(diǎn)N的“非常距離”最�。�
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，-$\frac{1}{2}$x₀-2），由PM=PN得|x₀+2|=|$\frac{1}{2}$x₀+2|，解得：x₀=0，或x₀=-$\frac{8}{3}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-2）或（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{2}{3}$），∴PM=PN=2，或$\frac{2}{3}$，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)N的“非常距離”的最小值為$\frac{2}{3}$，相應(yīng)的M的坐標(biāo)為（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{2}{3}$）；
②當(dāng)點(diǎn)P在過原點(diǎn)且與直線y=-$\frac{1}{2}$x-2垂直的直線上時，點(diǎn)M與點(diǎn)P的“非常距離”最小，設(shè)P（x，y）（點(diǎn)P位于第三象限）．
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
故P（-$\frac{1}{2}$，-1）．
-$\frac{1}{2}$-x₀=-1+$\frac{1}{2}$x₀+2，
解得x₀=-1，
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-$\frac{3}{2}$），最小值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)綜合題．對于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件．理解題中“非常距離”的定義是正確解題的關(guān)鍵．