Question

4．如圖，拋物線y=ax²+bx+1經(jīng)過點（2，6），且與直線y=$\frac{1}{2}$x+1相交于A，B兩點，點A在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（4，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若P是直線AB上方該拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交AB于點E，求線段PE的最大值；
（3）在（2）的條件，設(shè)PC與AB相交于點Q，當(dāng)線段PC與BE相互平分時，請求出點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出B點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）首先表示出P，E點坐標(biāo)，再利用PE=PD-ED，結(jié)合二次函數(shù)最值求法進(jìn)而求出PE的最大值；
（3）根據(jù)題意可得：PE=BC，則-x²+4x=3，進(jìn)而求出Q點的橫坐標(biāo)，再利用直線上點的坐標(biāo)性質(zhì)得出答案．

解答 解：（1）∵BC⊥x軸，垂足為點C（4，0），且點B在直線y=$\frac{1}{2}$x+1上，
∴點B的坐標(biāo)為：（4，3），
∵拋物線y=ax²+bx+1經(jīng)過點（2，6）和點B（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+1=6}\\{16a+4b+1=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
故拋物線的解析式為：y=-x²+$\frac{9}{2}$x+1；

（2）如圖所示：設(shè)動點P的坐標(biāo)為；（x，-x²+$\frac{9}{2}$x+1），
則點E的坐標(biāo)為：（x，$\frac{1}{2}$x+1），
∵PD⊥x軸于點D，且點P在x軸上，
∴PE=PD-ED=（-x²+$\frac{9}{2}$x+1）-（$\frac{1}{2}$x+1）
=-x²+4x
=-（x-2）²+4，
則當(dāng)x=2時，PE的最大值為：4；

（3）∵PC與BE互相平分，
∴PE=BC，
∴-x²+4x=3，即x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∵點Q分別時PC，BE的中點，且點Q在直線y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴①當(dāng)x=1時，點Q的橫坐標(biāo)為：$\frac{5}{2}$，∴點Q的坐標(biāo)為：（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{4}$），
②當(dāng)x=3時，點Q的橫坐標(biāo)為：$\frac{7}{2}$，∴點Q的坐標(biāo)為：（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{4}$），
綜上所述，點Q的坐標(biāo)為：（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{4}$），（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{4}$）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)最值求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)等知識，正確表示出PE的長再結(jié)合二次函數(shù)最值求法是解題關(guān)鍵．