Question

3．在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，b），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-b），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0）且a、b、c滿(mǎn)足$\sqrt{a-12}+（a+b）^{2}+（c+4）^{2}=0$．
（1）求a、b、c的值；
（2）如圖，點(diǎn)M為射線OA上A點(diǎn)右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥EM交直線AB于N，連BM．問(wèn)是否存在點(diǎn)M，使S_△AMN=$\frac{3}{2}$S_△AMB？若存在，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若Q（4，8），點(diǎn)P為x軸上A點(diǎn)右側(cè)的一點(diǎn)，作AH⊥PQ，垂足為H，取HG=HA（如圖），連接CG，GO，①∠CGQ的大小不變，②∠QGO的大小不變，請(qǐng)你再這兩個(gè)結(jié)論中選取一個(gè)正確的結(jié)論，并求其值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)是性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)為零，即可解決．
（2）如圖1中，連接AE、EN，作NF⊥OA于F，思想利用四點(diǎn)共圓證明△EMN是等腰直角三角形，再證明△EMO≌△MNF得NF=MO，MF=EO=12，設(shè)點(diǎn)M（m，0），列出方程解決．
（3）∠CGQ的大小不變，如圖2中，連接QA、QC，過(guò)C作CT⊥PQ于T，過(guò)Q作QS⊥x軸于點(diǎn)S，先證明△CQT≌△QAH，再證明△TCG是等腰直角三角形即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-12}$+（a+b）²+（c+4）²=0，
$\sqrt{a-12}$≥0，（a+b）²≥0，（c+4）²≥0，
∴a=12，b=-12，c=-4．
（2）如圖1中，連接AE、EN，作NF⊥OA于F．
∵OA=OE=OB=12，∠EOA=∠AOB=90°，
∴∠EAO=∠AEO=∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠EAB=∠EAN=90°，
∵∠EAN=∠EMN=90°，
∴四邊形EAMN四點(diǎn)共圓，
∴∠EAO=∠ENM=45°，
∴∠MEN=∠MNE=45°，
∴EM=MN，
∵∠EMO+∠NMF=90°，∠NMF+∠MNF=90°，
∴∠EMO=∠MNF，
在△EMO和△MNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOM=∠MFN}\\{∠EMO=∠MNF}\\{EM=MN}\end{array}\right.$，
∴△EMO≌△MNF，
∴NF=MO，MF=EO=12，設(shè)點(diǎn)M（m，0），
∵S_△AMN=$\frac{3}{2}$S_△AMB
∴$\frac{1}{2}$×（m-12）×m=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$×（m-12）×12，
∴m=18，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（18，0）
（3）∠CGQ的大小不變不改變，理由如下：
如圖2中，連接QA、QC，過(guò)C作CT⊥PQ于T，過(guò)Q作QS⊥x軸于點(diǎn)S，
∵Q（4，8），C（-4，0），A（12，0），
∴S（4，0），
∴MS垂直平分AC，
∴QC=QA8，
∴QS=AS=SC，
∴∠CQA=90°，
∴∠CQT+∠QMH=∠TCQ+∠CQT=90°，
∴∠TCQ=∠AQH，
在△CMT和△MAH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CTQ=∠QHA=90°}\\{∠TCQ=∠AQH}\\{CQ=QA}\end{array}\right.$，
∴△CQT≌△QAH（AAS），
∴TQ=AH，CT=QH，
又AH=HG，
∴QT=GH=AH，
∴GT=GQ+QT=QG+GH=QH=CT，
∴△CGT是等腰直角三角形，
∴∠CGQ=45°，
即當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CGQ的度數(shù)不改變．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，利用特殊三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．