Question

12．在△FBD中，點(diǎn)A、E分別是邊FB、FD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DC∥AB交AE的延長(zhǎng)線于C點(diǎn)，連接CF．
（1）求證：四邊形ABDC是平行四邊形；
（2）若∠CDF=45°，F(xiàn)B=8，CF=$\sqrt{26}$，求△CDF的面積．

Answer 1

分析 （1）先證明AE是△FBD的中位線，得出AE∥BD，即AC∥BD，再由已知條件DC∥AB，即可得出結(jié)論；
（2）作FG⊥DC交DC延長(zhǎng)線于G，先證明△FDG是等腰直角三角形，得出FG=DG，設(shè)CG為x，則FG=DG=4+x，再根據(jù)勾股定理求出x，得出FG，即可求出△CDF的面積．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)A、E分別是邊FB、FD的中點(diǎn)，
∴AE是△FBD的中位線，
∴AE∥BD，即AC∥BD，
又∵DC∥AB，
∴四邊形ABDC是平行四邊形；
（2）解：作FG⊥DC交DC延長(zhǎng)線于G，如圖所示：
則∠DGF=90°，
∵∠CDF=45°，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∴FG=DG，
∵FB=8，
∴CD=AB=$\frac{1}{2}$FB=4，
設(shè)CG為x，則FG=DG=4+x，
在Rt△CFG中，根據(jù)勾股定理得：FG²+CG²=CF²，
即（4+x）²+x²=（$\sqrt{26}$）²，
解得：x=1，或x=-5（舍去），
∴x=1，
∴FG=5，
∴△CDF的面積=$\frac{1}{2}$CD•FG=$\frac{1}{2}$×4×5=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定、三角形中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理、三角形面積的計(jì)算；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作輔助線，設(shè)未知數(shù)列出方程才能求出結(jié)果．