Question

（2013•澄海區(qū)模擬）已知Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=6，OB=8．將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．
（1）如圖（1），若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（3，4）

；
（2）如圖（2），若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）如圖（3），若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，是否存在點(diǎn)B′，使得四邊形BCB′D是菱形？若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由并求出菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）A是直線AB的中點(diǎn)，則D的坐標(biāo)即可求解；
（2）折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，則C在AB的中垂線上，Rt△AOC中利用勾股定理即可得到方程，求得C的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)B'C∥AB（或B'D∥BO）時(shí)，四邊形BCB'D是菱形，則△OB'C∽△OAB，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得B′C的長(zhǎng)度，然后根據(jù)△AB'D∽△AOB，即可求得B′D的長(zhǎng)．從而證得B'C=BC=B'D=BD．

解答：解：（1）∵OA=6，OB=8
∴A的坐標(biāo)是（6，0），B的坐標(biāo)是（0，8），
D是AB的中點(diǎn)，則坐標(biāo)是：（3，4）；
（2）設(shè)C（0，m），（m＞0），
則CO=m，
BC=AC=（8-m），
在Rt△AOC中，有（8-m）²-m²=36，
整理得，16m=28，
∴m=

7

4

，
∴C（0，

7

4

）；
（3）存在，當(dāng)B'C∥AB（或B'D∥BO）時(shí)，四邊形BCB'D是菱形，
∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB=10，
∵B'C∥AB，∴△OB'C∽△OAB，∴

B′C

AB

=

OC

OB

，
設(shè)B'C=BC=x，則

x

8

=

8-x

8

，
解得，x=

40

9

，
∵B'C∥AB，
∴∠CBD+∠BCB'=180°，
又∵∠CBD=∠CB'D，∴∠CB'D+∠BCB'=180°，
∴B'D∥BO，
∴△AB'D∽△AOB，
∴

B′D

OB

=

AD

AB

，
設(shè)B'D=BD=y，
∴

y

8

=

10-y

10

，
解得：y=

40

9

，
∴B'C=BC=B'D=BD，
∴四邊形BCB'D是菱形，
∴存在點(diǎn)B'，使得四邊形BCB'D是菱形，此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為

40

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題是勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．