Question

已知拋物線y=x²-x-2。
（1）求拋物線頂點M的坐標(biāo)；
（2）若拋物線與x軸分別交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點N為線段BM上的一點，過點，N作x軸的垂線，垂足為點Q，當(dāng)點N在線段BM上運動時（點N不與點B、點M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=（x-）2-， ∴頂點M的坐標(biāo)為（，-）； （2）拋物線y=x2-x-2與x軸的兩交點為 A（-1，0），B（2，0）， 設(shè)線段BM所在直線的解析式為y=kx+b， ∴解得 ∴線段BM所在直線的解析式為y=x-3， 設(shè)點N的坐標(biāo)為（x，-t）， ∵點N在線段BM上， ∴-t=x-3， ∴x=-t+2， ∴S四邊形NQAC=S△AOC+S梯形OQNC=×1×2+（2+t）（-t+2）=-t2+t+3； ∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-t2+t+3，自變量t的取值范圍為0＜x<； （3）假設(shè)存在符合條件的點P，設(shè)點P的坐標(biāo)為P（m，n），則m>，且n=m2-m-2，  PA2=（m+1）2+n2，PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，分以下幾種情況討論： ①若∠PAC=90°，則PC2=PA2+AC2 ∴n=m2-m-2，m2+（n+2）2=（m+1）2+n2+5， 解得m1=，m2=-1， ∵m<，∴m=， ∴P1（，）， ②若∠PCA=90°，則PA2=PC2+AC2 ∴n=m2-m-2，（m+1）2+n2=m2+（n+2）2+5， 解得m3=，m4=0， ∵m> ∴m= ∴P2（，-）， 當(dāng)點P在對稱軸右側(cè)時，PA>AC，所以邊AC的對角∠APC不可能是直角， ∴存在符合條件的點P，且坐標(biāo)為（，），（，-）。