Question

在四邊形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AB、BC上，且MN=AM+CN，
（1）如圖1，若四邊形ABCD為正方形，通過(guò)測(cè)量、推理、猜想：∠MDN=

 

°；
（2）如圖2，若AB∥CD，AD=DC，∠A=∠B，探究：∠MDN與∠ADC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由：

 

；
（3）如圖3，若AB與CD不平行，AD=DC，要使得（2）中的結(jié)論仍然成立，∠A與∠C之間應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？（直接回答，不需證明）

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）延長(zhǎng)BC至G使CG=AM，連接DG，利用△DAM≌△DCG得出DM=DG，再次利用△DMN≌△DGN得出∠MDN=∠GDN，運(yùn)用∠MDN=

1

2

∠ADC．即可求出∠MDN的度數(shù)．
（2）延長(zhǎng)BA至E，使AE=CN，運(yùn)用△ADE≌△CDN得出DE=DN，推出△EDM≌△NDM利用角的關(guān)系得出結(jié)論．
（3）延長(zhǎng)BC至E，使CE=AM，連接DE，在證明△DAM≌△DEC時(shí)少了一個(gè)條件，我們給它一個(gè)條件，再次運(yùn)用△DMN≌△DEN得出的結(jié)論是∠MDN=

1

2

∠ADC，所以加的這個(gè)條件正是∠A與∠C應(yīng)滿(mǎn)足的條件，求出它們間的條件即可．

解答：解：（1）測(cè)量，猜想：∠MDN=45°，
證明：如圖1，延長(zhǎng)BC至G使CG=AM，連接DG，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=CD，∠DAB=∠DCB=∠DCG=90°
∵AM=CG，
在△DAM和△DCG中，

AD=CD ∠DAB=∠DCG AM=CG

∴△DAM≌△DCG（SAS）
∴∠ADM=∠CDG，DM=DG，
∵M(jìn)N=AM+CN，
∴MN=NG，
在△DMN和△DGN中，

MN=NG DM=DG DN=DN

，
∴△DMN≌△DGN（SSS），
∴∠MDN=∠GDN，
∴∠MDN=

1

2

∠ADC．
∴∠MDN=∠GDN=

1

2

×90°=45°
故答案為：45．
（2）∠MDN=

1

2

∠ADN，
證明：如圖2，延長(zhǎng)BA至E，使AE=CN，

∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠DAB=∠B，
∴∠DAB+∠C=180°，
∵∠DAE+∠DAB=180°，
∴∠DAE=∠C，
∵AD=DC，
在△ADE和△CDN中，

AE=CN ∠DAE=∠C AD=DC

∴△ADE≌△CDN（SAS）
∴DE=DN，∠ADE=∠CDN，
∵M(jìn)N=AM+CN，
∴MN=AM+AE=EM，
又∵DM為公共邊，
在△EDM和△NDM中，

DE=DN MN=EM DM=DM

∴△EDM≌△NDM（SSS）
∴∠MDE=∠MDN，
∴∠MDN=∠CDN+∠ADM，
∴∠MDN=

1

2

∠ADC，
故答案為：∠MDN=

1

2

∠ADC．
（3）如圖3，延長(zhǎng)BC至E，使CE=AM，連接DE，

∵AD=DC，AM=CE，
現(xiàn)在要使△DAM≌△DEC少一個(gè)條件，假設(shè)∠A=∠ECD，
則有△DAM≌△DEC（SAS）
∴DE=DM，∠ADM=∠CDE，
∵M(jìn)N=AM+CN=NE，DN為公共邊，
在△DMN和△DEN中，

DE=DM MN=NE DN=DN

∴△DMN≌△DEN（SSS）
∴∠MDN=∠EDN，
∴∠MDN=

1

2

∠ADC．
結(jié)論成立只需一個(gè)條件∠A=∠ECD，即∠A+∠DCN=180°，就是原圖的∠A+∠C=180°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四邊形綜合題，本題要正確畫(huà)出輔助線，并多次運(yùn)用三角形全等的判定及性質(zhì)，找出全等三角形對(duì)應(yīng)的角與線段是解題的關(guān)鍵．