Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過點A作⊙O的切線，交OC的延長線于點D，∠D=30°
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由AD為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OA與AD垂直，得到三角形AOD為直角三角形，利用直角三角形的兩銳角互余求出∠AOD的度數(shù)，再利用同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，即可求出∠B的度數(shù)；
（2）由OD與AB垂直，利用垂徑定理得到C為弧AB的中點，得到兩條弧相等，利用等弧對等弦得到AC=BC=5，由∠D=30°，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到OA為OD的一半，而OC=OA，可得出C為OD的中點，求出OD的長，再利用勾股定理即可求出AD的長．

解答：解：（1）連接OA，
∵AD為圓O的切線，
∴∠OAD=90°，又∠D=30°，
∴∠AOD=60°，
∵∠AOD與∠B所對的弧都為

AC

，
∴∠AOD=2∠B，
則∠B=30°；
（2）∵OD⊥AB，
∴

AC

=

BC

，
∴AC=BC=5，
∵∠D=30°，∠OAD=90°，
∴OA=OC=

1

2

OD，即C為OD的中點，
∴AC=

1

2

OD，即OD=2AC=10，
則根據(jù)勾股定理得：AD=

OD2-OA2

=5

3

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，圓心角、弧及弦之間的關系，以及圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關鍵．