Question

如圖，在邊長為23cm的正方形ABCD中，剪下一個扇形AEF和一個⊙O（使⊙O分別與EF、BC、CD相切），分別作為圓錐的側(cè)面和底面做成一個圓錐，求此圓錐的全面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相切兩圓的性質(zhì),圓錐的計(jì)算

專題：幾何圖形問題

分析：設(shè)圓錐模型的底面半徑是r，扇形鐵皮的半徑是R，得出2πr=

1

4

•2πR，求出R=4r．連接OQ、ON，得出正方形OQCN，得出OQ=CQ，根據(jù)勾股定理求出AC，CO，即可得出

2

r+r+R=23

2

，求出r，進(jìn)而得出圓錐的全面積．

解答：解：設(shè)圓錐模型的底面半徑是r，扇形鐵皮的半徑是R，
由題意知：∠DCB=90°，2πr=

1

4

•2πR，
解得：R=4r，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°=∠D，DC=AD=23，
由勾股定理得：AC=

232+232

=23

2

，
∵根據(jù)相切兩圓的性質(zhì)和切線性質(zhì)得：AO=R+r，∠OQC=∠ONC=90°=∠DCB，OQ=ON，
∴四邊形QCNO是正方形，
∴CQ=OQ=r，
由勾股定理得：CO=

r2+r2

=

2

r，
∵AC=AO+OC，
∴

2

r+r+R=23

2

，
∴r=

23 2

2 +5

=5

2

-2，
∴R=20

2

-8，
∴圓錐的全面積為：πr²+πRr=π×（5

2

-2）²+π（20

2

-8）（5

2

-2）=270π-100

2

π．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)有相切兩圓的性質(zhì)、圓的切線性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和判定、勾股定理等，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算和推理的能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．