Question

已知如圖，A、B兩點的坐標分別為A（0，2），B（2，0），直線AB與反比例函數y=的圖象交于C和D（-1，a）
（1）求直線AB和雙曲線的解析式；
（2）求∠ACO的度數；
（3）將△OBC繞O逆時針方向旋轉角α（α為銳角）得到OB′C′，當α=______度時OC′⊥AB．

Answer 1

解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
將A（0，2），B（2，0）代入解析式y(tǒng)=kx+b中，得，
解得：．
∴直線AB的解析式為y=-x+2，
將D（-1，a）代入y=-x+2得：a=3，
∴點D坐標為（-1，3），
將D（-1，3）代入y=中得：m=-3，
∴反比例函數的解析式為y=-；

（2）聯立得：，
解得：或，
∴點C坐標為（3，-），
過點C作CM⊥x軸于點M，則在Rt△OMC中，CM=，OM=3，
∴tan∠COM==，∴∠COM=30°，
在Rt△AOB中，tan∠ABO===，
∴∠ABO=60°，
∴∠ACO=∠ABO-∠COE=30°；

（3）如圖，若OC′⊥AB，則有∠BNO=90°，
∵∠NBO=60°，∴∠BON=30°，
∵∠COM=30°，
∴∠COC′=∠COM+∠BON=60°，即旋轉角為60°，
則當α=60°時，OC′⊥AB．
故答案為：60．
分析：（1）設直線AB解析式為y=kx+b，將A與B坐標代入求出k與b的值，確定出直線AB解析式，將D坐標代入直線AB解析式求出a的值，確定出D坐標，將D坐標代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式；
（2）聯立直線AB與反比例解析式，求出交點C坐標，過C作CM垂直于x軸，在直角三角形COM值，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值求出∠COM的度數，在直角三角形AOB中，同理求出∠ABO的度數，由外角性質即可求出∠ACO的度數；
（3）根據題意畫出圖形，求出OC′⊥AB時的旋轉角即可確定出α度數．
點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法確定函數解析式，一次函數與反比例函數的交點問題，銳角三角函數定義，以及旋轉的性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．